Dans cet axe, une direction de recherche est centrée sur la statistique nonparamétrique et semi-paramétrique pour la construction d’estimateurs optimaux (dans le sens minimax, ou bien à partir d’inégalités oracle) pour des problèmes d’inférence statistique en grande dimension (modèles déformables en traitement du signal, estimation de matrice de covariance, problèmes inverses).

Dans cette optique, une première partie se focalise sur la minimisation de l’estimateur non-biaisé du risque de Stein (SURE) pour des modèles issus du cadre variationnel. Une première difficulté théorique est de construire de tels estimateurs lorsque les fonctionnelles mises en jeu ont un caractère non-lisse, non-convexe voire discontinu. Une deuxième difficulté concerne la mise en place d’algorithmes efficaces pour le calcul et la minimisation du SURE lorsque les solutions de ces modèles sont elles mêmes issues d’un algorithme d’optimisation. Finalement, une dernière difficulté concerne l’extension du SURE à des problèmes complexes d’inférence (problèmes mal-posés, bruits non blanc gaussien, etc.).

Une autre partie de cet axe porte sur les modèles de régression semi-paramétrique où la fonction de régression est estimée par un estimateur de type Nadaraya-Watson récursif. Dans ce cadre, un contrat région Aquitaine a été obtenu en 2014 pour 3 ans. Il porte sur le développement de nouvelles méthodes d’estimation non paramétrique avec applications en valvométrie et sciences de l’environnement.

Cet axe concerne l’utilisation de toutes les méthodes du calcul stochastique, en particulier l’analyse fine des trajectoires de processus, de leurs probabilités, de leurs variation, les couplages, avec pour objectifs :

• l’analyse des semi-groupes de diffusion et des équations d’évolution dans les variétés (équation de la chaleur, équation de courbure moyenne, flot de Ricci), et leur exploitation en traitement du signal, de l’image,
• obtenir des inégalités fonctionnelles,
• l’étude des bords de Poisson,
• les calculs de sensibilité de prix dans des modèles financiers,
• les inégalités de transport,
• les algorithmes de recherche et d’optimisation dans les variétés pour l’exploitation en signal-image.

Sont également étudiées des problèmes d’existence et d’unicité de martingales à valeur terminale donnée dans des variétés. Plusieurs contributions portent aussi sur la notion de moyenne de Fréchet qui est une extension du barycentre euclidien usuel à des espaces munis de distances non-euclidiennes. Dans ce cadre, de nombreuses propriétés statistiques de la moyenne de Fréchet ont été établies dans des modèles déformables de signaux.